Hola a todos,
un breve apunte sobre una de las ecuaciones diofánticas que entran en el examen y el trabajo.
Recordemos que las soluciones de la ecuación x^2-y^2=n se construyen a partir de las parejas de números (a,b) tales que:
- ab=n
- a y b tienen la misma paridad
- a es mayor que b
- a y b son positivos
Dado uno de estos pares, entonces una solución de la ecuación se construye haciendo x=(a+b)/2, y=(a-b)/2. Una vez obtenida una pareja (x,y) de números positivos que es solución de la ecuación propuesta, automáticamente tenemos tres parejas más: las que salen de cambiar el signo a x e y: (-x,y), (-x,-y), (x,-y).
Por ejemplo, la ecuación x^2-y^2=12, se resuelve así:
- Solo hay una factorización de 12 en las condiciones anteriores, esta es: 12=6·2. Luego a=6, b=2
- A partir de 6 y 2, obtenemos x=4, y=2. Nuestra primera solución es, por lo tanto, (4,2).
- A partir de esta, sacamos las restantes soluciones, a saber, (-4,2), (-4,-2), (4,-2).
Es muy importante que se respeten, a la hora de elegir a y b, las restricciones citadas más arriba, y que se tenga en cuenta que "los cambios de signo" se aplican a "x" e "y", no a "a" y "b".
Terminamos con un ejemplo de solución errónea: si a partir del par a=6, b=2 hubiéramos elegido a=-6, b=2, entonces resultaría x=-2, y=-4, que NO es solución de la ecuación original ya que (-2)^2-(-4)^2=-16. Una vez más insistimos en la importancia de comprobar los resultados.
